Pembuktian Rumus Menghitung FPB dan KPK Paling Mudah


Pembuktian rumus atau penggunaan rumus?

Paman APIQ telah melontarkan isu tersebut beberapa waktu lalu. Dengan menggunakan otak kanan, Paman APIQ menyarankan agar kita memanfaatkan pembuktian rumus dan pengunaannya secara variatif.

Bagi siswa pada umumnya, lebih penting dapat memanfaatkan rumus secara kreatif. Sementara beberapa siswa khusus perlu mendalami pembuktian rumus.

Bagaimana untuk guru?

Paman APIQ menyarankan agar para guru sebaiknya dapat mahir dua-duanya: pembuktia rumus dan pemanfaatan rumus.

Berikut ini adalah pembuktian rumus untuk menghitung FPB yang paling mudah. Sedangkan pembuktian menghitung KPK paling mudah sudah saya tuliskan beberapa waktu yang lalu.

FPB: Faktor Persekutuan terBesar
KPK: Kelipatan Persekutuan terKecil

Untuk himpunan bilangan asli, tunjukkan bahwa bila

m – n = s

dan s membagi habis n

maka

s = FPB.

Pertama, mari kita batasi agar lebih mudah.
m > n
m =< 2n

Kita dapat menyatakan:
m = p x FPB
n = q x FPB

m – n = s
pxFPB – qxFPB = s
(p-q) FPB = s

n/s =
= (qxFPB)/((p-q)FPB)
= q/(p-q)

(p-q) FPB = s

Semua bilangan di atas adalah bilangan asli.

Jika s adalah FPB maka dapat membagi habis m – n. (Terbukti. Implikasi dari s adalah FPB).

Kini kita tinggal membuktikan implikasi arah sebaliknya.

Jika s dapat membagi habis m-n maka s adalah FPB.

m – n = s
(p-q).FPB = s

Semua bilangan di atas adalah bilangan asli.
Karena m =< 2n maka p-q = 1
Jadi s = FPB. (Terbukti).

n/s =
= (qxFPB)/((p-q)FPB)
= q/(p-q)

Karena s dapat membagi habis n maka n/s adalah bilangan bulat maka p – q = 1.

Jika p – q = 1 maka

s = (p – q) FPB
s = FPB

Dengan demikian terbukti bahwa

jika m – n = s dan s dapat membagi habis n maka s = PFB.

Contoh:

42 – 35 = 7

Karena 7 dapat membagi habis 35 maka 7 adalah FPB.

50 – 48 = 2

Karena 2 dapat membagi habis 48 maka 2 adalah FPB.

Bagaimana jika s tidak dapat membagi habis n?

Seperti

35 – 25 = 10

Tentu kita dapat melakukan pengurangan berulang,

25 – 10 = 15
15 – 10 = 5

5 dapat membagi habis 10 maka

5 adalah FPB antara 10 dan 15,
5 adalah FPB antara 10 dan 25,
5 adalah FPB antara 25 dan 35.

Dengan mendefinisikan pengurangan berulang sebagai pembagian maka proses perhitungan FPB menjadi lebih cepat lagi.

Bagaimana menurut Anda

http://apiqquantum.wordpress.com

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s